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Kann man Stabilität messen?

von Herbert Zellhuber

In der Umgangssprache wird etwas als stabil bezeichnet, wenn es kräftig, fest und massiv gebaut ist. Aber wie kann man feststellen, ob die eine Konstruktion stabiler wie eine andere ist? An der Masse, am Gewicht? Man könnte vielleicht probieren, welche Konstruktion weniger wackelt.

Sehen wir uns mal zwei Betonsäulen an, die fest im Erdreich vergossen sind (Bild links). Welche der beiden ist nun stabiler gebaut und wie kann man dies anhand von Messungen feststellen?

Man kann die Säulen mit einer gewissen Kraft F seitlich belasten und die Auslenkung mit einer Messuhr feststellen, siehe Bild links. Mal angenommen, wir drücken mit einer Kraft von 30 N und erreichen bei beiden Säulen eine Auslenkung von 0,02 mm. Man könnte nun von den beiden Säulen sagen, dass sie gleich stabil gebaut sind. Setzt man auf die Säulen nun jeweils gleiche Montierungen und Fernrohre, so kann man von einem ähnlichen Schwingungsverhalten ausgehen.

Genau genommen bedienen wir uns hier der Steifigkeitsmessung, wie sie in ähnlicher Weise bei den Statikern verwendet wird. Die Steifigkeit ergibt sich aus dem Verhältnis von Kraft und Auslenkung

Steifigkeit = Kraft : Auslenkung

Um dies etwas besser verstehen zu können, kann man ein praktisches Experiment durchführen: In einen fest montierten Schraubstock spannen wir einen Rundstahl Ø 10 mm so ein, dass sein Ende 100 mm hervorsteht, siehe Bild links. Dort setzen wir eine Messuhr an und drücken mit einer Federwaage mit einer Kraft von 5 N dagegen. Nun kann man beobachten, wie die Messuhr um 0,025 mm ausschlägt. Wenn der Rundstahl nicht mehr belastet wird, so kehrt er aufgrund der Elastizität wieder in seine Ausgangslage zurück. Wenn wir den Rundstahl mit der Kraft von 10 N belasten, so zeigt die Messuhr 0,05 mm an.
Rechenbeispiel: 5 N : 0,025 mm = 200 N/mm 10 N : 0,05 mm = 200 N/mm
Nun spannen wir den Rundstahl so ein, dass er 200 mm aus der Schraubstockbacke hervorsteht. Dort setzen wir ebenfalls wieder die die Messuhr an und stellen bei einer Kraft von 5 N fest, dass die Messuhr diesmal einen Wert von 0,16 mm anzeigt. Es ist dies ein 6,4fach höherer Wert als bei 100 mm.
Rechenbeispiel: 5 N : 0,16 mm = 31 N/mm

Je höher der Wert N/mm, um so höher die Steifigkeit

Bei einer Verdoppelung des Hebels ist somit eine über sechsmal geringere Steifigkeit vorhanden. Man könnte als Laie auch sagen, dass die Stabilität des Stabes umso geringer wird, je länger er ist.

Der Begriff Steifigkeit wird in der Fachliteratur gelegentlich auch als Steife, Federzahl, Nachgiebigkeit oder Widerstandsmoment bezeichnet. Ein einseitig eingespannter stabförmiger Körper ist neben der Verbiegung auch noch weiteren Belastungen ausgesetzt: So wirken zusätzlich Kräfte wie Verdrehung, Zug und Druck (Bild links).

Die "Stabilität" verschiedener Materialien

Will man die "Stabilität" verschiedener Materialien wie Stahl, Messing, Aluminium usw. messen, so kann man dies ebenfalls mit ein paar einfachen Experimenten ermitteln. Man nimmt Rundlinge gleicher Durchmesser (hier 10 mm), spannt diese wie oben gezeigt 100 mm in einen Schraubstock und misst bei einer Kraft von 5 N die jeweiligen Abweichungen. Hier das Ergebnis:

Material	Verbiegung bei 5 N
Stahl	0,025 mm
Messing	0,045 mm
Aluminium	0,075 mm

Es zeigt also, dass sich das Material Messing leichter verbiegt als Stahl und Aluminium sich wiederum noch leichter verbiegt als Messing. In der Sprache der Statiker wird diese Eigenschaft der Materialien als sog. »Elastizitätsmodul« bezeichnet. Auf statische Berechnungen sollte hier nicht eingegangen werden, da der Artikel bewusst nur für Laien geschrieben wurde.
Übrigens, gehärteter Stahl hat denselben Elastizitätsmodul wie "weicher" Stahl! Ich konnte mich davon überzeugen, als ich das oben gezeigte Experiment mit einem gleich dicken Schraubenzieher durchführte. Dass der Schraubenzieher auch gehärtet war, konnte ich leicht mit einer Feile feststellen.

Man kann mit dieser Methode auch experimentell nachweisen, welcher Querschnitt nötig ist, sollte eine Stahlkonstruktion durch eine solche aus Aluminium ersetzt werden. Ein Rundling aus Stahl im Ø 12 mm hat die gleiche Steifigkeit wie ein solcher aus Aluminium mit dem Ø 15 mm. Man muss also bei Alu den Querschnitt 1,5fach erhöhen, um die gleiche Steifigkeit gegenüber Stahl zu erreichen. Gleichzeitig ergibt sich hier ein weiterer Vorteil: Der Rundling aus Alu im Ø 15 mm ist gegenüber dem Stahl-Rundling Ø 12 mm bei gleicher Länge nur halb so schwer.

Die "Stabilität" verschiedener Formen

Nun spannte ich ein Aluminiumrohr Ø 22 mm mit einer Wandstärke von 1 mm in den Schraubstock und stellte fest, dass dieses Rohr sich im Abstand von 100 mm bei einer Kraft von 5 N um 0,015 mm biegt. Das sind 0,01 mm weniger als bei der Stahlwelle Ø 10 mm und das Aluminiumrohr hat dabei noch dazu ein 3,5mal geringeres Gewicht! Bei den Statikern spricht man hier vom sogenannten »Flächenträgheitsmoment«.

Experimente zum Schwingungsverhalten

Hier ist ein Stahlrundling Ø 8 mm in den Schraubstock gespannt, wobei ein Ende 35 cm hervorsteht. Nun bringt man den Stab ins Schwingen, in dem man mit dem Daumen dagegen drückt und schnell wieder los lässt. Man wird feststellen, dass der Stab mit einer relativ hohen Frequenz schwingt und nach ein paar Sekunden die Schwingungen wieder abgeklungen sind.

Nun ist ein Gewicht von 600 g angeschraubt. Bringt man den Stab ebenfalls ins Schwingen, wobei mit dem Daumen dieselbe Kraft wie vorher ausgeübt wird, kann man folgendes feststellen: Der Stab schwingt nun mit einer niedrigeren Frequenz und auch das Ausschwingen dauert wesentlich länger als ohne Gewicht. Der Statiker spricht hier von der »dynamischen Steifigkeit«, also vom Verhalten bei Schwingungen. Beim Messen der »statischen Steifigkeit« wird man bei diesem Beispiel genau dieselben Messergebnisse feststellen können, egal ob nun mit oder ohne Gewicht geprüft wird. Das Schwingungsverhalten ist aber völlig unterschiedlich.

Weitere Experimente

Wenn man keine Steifigkeitsberechnungen anstellen kann, so besteht die Möglichkeit, dies experimentell zu ermitteln. So wollte ich erfahren, wie sich die Steifigkeit eines Gehäuseteils für eine Montierung und der dazu gehörigen Welle verhält. Dazu fertigte ich ein maßstabsgetreues Modell 1:5 an. Das Original wäre ein Vierkant-Alu 60×60 mm mit einer 36er Bohrung gewesen, die Welle dazu hätte einen Ø von 35 mm. Im Modell sind es ein 12×12 mm Vierkant-Alu mit einer 7,2er Bohrung, die Welle hat einen Ø 7mm. Mit ein paar Schrotteilen baute ich noch eine Vorrichtung, um diese Messungen durchführen zu können (Bild links).
Bei der Vergleichsmessung wurde an die Schraube M 5 ein Schraubenschlüssel angesetzt und mit einer Federwaage 2 N belastet. Das Drehmoment betrug dabei 0,24 Nm - was etwa einer Anpresskraft von 345 N entspricht. Die Verbiegung konnte an der Messuhr abgelesen werden. Anhand der Messwerte konnte ich sehen, dass das Aluminiumgehäuse eine höhere Steifigkeit als die Welle hat. Das Gehäuseteil wäre also auf keinen Fall unterdimensioniert gewesen.

Als nächstes interessierte mich folgendes: Eine 35mm-Achse hat bei einer Länge von 140mm (Verhältnis 1:4) eine gewisse Steifigkeit. Bei welcher Länge hat eine Achse im Ø 50 mm dieselbe Steifigkeit? Bei diesem Experiment bediente ich mich wieder mit Stahlwellen im Maßstab 1:5, wobei die Durchmesser jeweils 7 mm und 10 mm betrugen. Die Achsabstände konnte ich mit Hilfe von zwei Aluminiumleisten verstellen, bei der 7er Welle waren das 28 mm. Allerdings musste ich bei den Messungen eine Messuhr verwenden, mit der 0,001 mm abgelesen werden können; die Verbiegungen waren bei der Kraft von 345 N und den relativ kurzen Achsabständen doch relativ klein. Ich stellte auch fest, dass man mit gefühlvollem Anziehen einer Rändelschraube direkte Vergleichsmessungen besser durchführen kann.
Als der Achsabstand bei der 10er Welle 50 mm betrug, konnte eine ähnliche Steifigkeit gemessen werden wie bei der Welle Ø 7 mm mit 28 mm Achsabstand. Somit wird klar, dass eine 50-mm-Achse der Länge 250 mm (Verhältnis 1:5) in einer Montierung dieselbe Steifigkeit hat wie eine 35-mm-Achse bei einer Länge von 140 mm. Beide Achsen würden sich bei gleicher Belastung gleich stark verbiegen. Allerdings hätte eine Montierung mit 50 mm Achsdurchmesser ein wesentlich höheres Gewicht - bei ähnlicher Bauweise ca. das Doppelte.

Die Steifigkeit von Werkzeugmaschinen

An meiner Hobbydrehbank fiel mir schon seit längerer Zeit auf, dass sich die beiden Führungsstangen beim Zerren an der Kurbel des Querschlittens verwinden. Besonders auffällig ist diese Erscheinung, wenn das Maschinenbett sich in der Mitte der Führungsstangen befindet und der Querschlitten ganz herausgefahren ist. Ohne größeren Kraftaufwand ist es möglich, den Querschlitten um +/- 0,3 mm nach unten bzw. oben zu bewegen (siehe Bild links). Bei dieser Demonstration wurden natürlich das Maschinenbett an den Führungsstangen und die beiden Schwalbenschwanzführungen geklemmt. Zu viel Spiel an diesen Elementen ist also ausgeschlossen. So mancher wird bei diesem Ergebnis die Nase rümpfen und sagen, dass die Konstruktion mit den beiden 30-mm-Führungsstangen mangelhaft ist. Da ich aber die Maschine seit etlichen Jahren besitze und schon vieles damit hergestellt habe, kann sie doch gar nicht so schlecht sein. Ich möchte deshalb mit Hilfe einfacher Prüfmethoden zeigen, dass die Steifigkeit der Drehmaschine doch ganz brauchbar ist.

Zuerst möchte ich die "Daumenmethode" vorstellen. Mit gezieltem Daumendruck kann eine gewisse Kraft ausgeübt werden. An einer ganz gewöhnlichen Personenwaage wird man feststellen, dass die Waage ausschlägt, je mehr Kraft aufgewendet wird. Jeder wird bei "normalem Daumendruck" ein gewisses Maß erreichen, bei mir sind es z.B. 10 kg - was etwa einer Kraft von 100 Newton (N) entspricht. Diese Kraft kann man an Teilen einer Werkzeugmaschine ausüben und eine Messuhr ansetzen. Das Bild unten zeigt, wie ich den Querschlitten belaste und bei einer Kraft von 100 N eine Auslenkung von 0,3 mm festzustellen ist.

Eine realistische Messung kann durchgeführt werden, wenn man die Auslenkung am Drehstahl prüft. Der Querschlitten ist soweit nach vorne gefahren, dass sich der Drehstahl in der Nähe der Drehachse befindet. Der Daumen drückt gegen den Drehstahl und die Messuhr zeigt einen Ausschlag von 0,02 mm an. Wenn die Kraft von oben gegen die beiden Führungsstangen wirkt, ist die Verbiegung also relativ gering.

Einen noch günstigeren Wert ergab die Messung, wenn das Maschinenbett nahe beim Dreibackenfutter steht. Dort schlug die Messuhr nur noch etwa 0,005 mm aus, das ist ein akzeptabler Wert.

Zum Schluss prüfte ich die Steifigkeit von der Arbeitsspindel und dem Spindelstock. Dabei drückte ich gegen das Backenfutter. Am Werkstück fand eine Auslenkung von 0,01 mm statt, ebenfalls ein akzeptabler Wert für eine Hobbydrehbank.

Die Steifigkeit von Bohrstählen und deren Schwingungsverhalten

Es gibt Bohrstähle aus HSS und Hartmetall. Ich verglich zwei 5-mm-Rundlinge und spannte sie in den Schraubstock. Im Abstand von 50 mm belastete ich diese mit 10 N. Dabei verbog sich der HSS-Rundling 0,13 mm und der aus Hartmetall 0,07 mm - also fast um die Hälfte. Somit ist einleuchtend, dass ein Bohrstahl aus Hartmetall bei gleicher Einspannlänge ein günstigeres Schwingungsverhalten aufweist als ein solcher aus HSS. Eine weitere Messung ergab, dass sich der HSS-Bohrstahl beim Abstand von 30 mm genauso stark verbiegt, als der aus Hartmetall bei 50 mm.

Steifigkeit beim Fräsen

Als ich mal mit dem Schruppfräser arbeitete, begann es lautstark zu rattern. Darauf hin wechselte ich das Spannzangenfutter gegen die Spannzange. Ich war erstaunt, dass nun beim gleichen Materialabtrag das laute Laufgeräusch verschwunden war.

Ich besann mich dann gleich der "Daumenmethode", spannte einen 16-mm-Rundstahl ins Futter und befestigte die Messuhr. Erstaunt stellte ich fest, dass bei der Spannzange ein Messuhrausschlag von 0,03 mm (Bild rechts) und beim längeren Spannzangenfutter ein Wert von 0,05 mm - also fast das doppelte - vorhanden ist (Bild links). Durch den längeren Hebelarm ergibt sich also eine geringere Steifigkeit. Bei geringerer Steifigkeit ist auch die Belastungsgrenze eher erreicht. Deshalb benutze ich bevorzugt die Direktspannzange.

Das Messen und Verbessern der Steifigkeit an der Fräsmaschine

Die erste Zeit hatte ich die Fräsmaschine noch nicht an der Arbeitsplatte angeschraubt. Als ich mal viel Material mit dem Schruppfräser abzutragen hatte, wurde manchmal durch heftiges Rattern auch der Grenzbereich der Maschine angezeigt. Mit dem 16er Schruppfräser war es nicht möglich, bei Stahl 2 mm ins Volle zu fahren, auch 1,5 mm waren noch zu viel; ein Millimeter war aber ganz gut möglich. Bevor ich die Maschine an der Platte festschraubte, notierte ich noch die Werte der Auslenkung an der Spindel mit meiner oben gezeigten "Daumendruck-Methode".

Die Ablenkung an der Frässpindel wurde in x-Richtung (Bild links) und in y-Richtung (Bild rechts) durchgeführt, wobei der Fräskopf einmal ganz unten, in der Mitte und ganz oben platziert war. Natürlich waren alle drei Klemmen an den Schlitten und der Pinole arretiert, damit die Messergebnisse nicht verfälscht werden. Der Daumendruck betrug immer um die 100 N.
in oberster Stellung des Fräskopfes war der größte Ausschlag (0,08 mm in x-Richtung, 0,03 mm in y-Richtung)
in mittlerer Stellung war dieser 0,04 mm in x- und 0,01 mm in y-Richtung
ganz unten war der Wert am geringsten (jeweils 0,03 mm und 0,01 mm)
Somit war deutlich zu sehen, dass die Steifigkeit in y-Richtung ca. dreimal so hoch ist wie in x-Richtung. Ebenfalls nimmt die Steifigkeit um ungefähr den dreifachen Betrag ab, je weiter der Fräskopf von der Grundplatte entfernt ist.

Dann befestigte ich die Maschine mit vier Schrauben M 8 an die Arbeitsplatte und führte die Messungen mit demselben Schema durch. Die Maschine gewann tatsächlich an Stabilität. Man sollte also die Fräsmaschine unbedingt auf einer stabilen Unterlage festschrauben. Allein dadurch wird das ganze System steifer (Werte siehe Tabellen).

Als ich mal im Internet sah, wie jemand an einer ähnlichen Fräsmaschine die freistehende Säule mit einer Stahlwinkel-Konstruktion an der Wand abstützte und die Maschine darauf hin ein verbessertes Verhalten beim groben Zerspanen aufwies, machte auch ich einen Versuch. Allerdings wollte ich seitlich an der Säule keine Bohrungen anbringen.

Deshalb nutzte ich die drei Gewinde M 6 am oberen Ende der Säule, mit denen der Spindelflansch verschraubt ist. Ich stellte die Verbindungsteile aus 10- und 12-mm-Aluplatten her. An der Wand wurde die 12er Platte mit zwei 8er Holzschrauben befestigt. Die Wand wurde an dieser Stelle mit einem Maurerhammer begradigt. Zwischen dem Alu und der Wand gab ich noch Silikon hinzu, damit das Ganze bei Vibrationen nicht scheuern kann und locker wird. Die obere Platte wurde mit Innensechskantschrauben M 6 befestigt. Auch danach wurden wieder die Steifigkeitswerte ausgemessen und notiert, siehe Tabellen:

x-Richtung	ohne Verschraubung	mit Verschraubung	mit Verschraubung und Abstützung
oben	0,08 mm	0,05 mm	0,03 mm
mitte	0,04 mm	0,03 mm	0,02 mm
unten	0,03 mm	0,025 mm	0,015 mm

y-Richtung	ohne Verschraubung	mit Verschraubung
oben	0,025 mm	0,02 mm
mitte	0,01 mm	0,01 mm
unten	0,005 mm	0,005 mm

Wie man an der Tabelle unschwer erkennen kann, ist die Systemsteifigkeit weiter verbessert worden, in y-Richtung ist an der Messuhr sogar überhaupt kein Ausschlag mehr feststellbar. Auch das Verhalten beim Fräsen hat sich verbessert. Nun kann ich mit einem 16er Schruppfräser 1,5 mm bei Stahl ins Volle fahren und dabei zeigt die Maschine ein Verhalten, wie es vorher bei einer Zustelltiefe von 1 mm war.

Nun stellte ich Überlegungen an, wie ich die Steifigkeit in x-Richtung noch verbessern könnte. Nach einer Woche reifte der Entschluss, einen Versuch mit einer Art Ausleger durchzuführen. Auch hier wollte ich keine Gewindebohrungen an der Fräsmaschine anbringen, deshalb verwendete ich das vorhandene Gewinde M 8 an der Klemmung der Pinole am Spindelkopf.

An der Wand schraubte ich einen 215 mm langen Stahlwinkel 30×30×5 mm mit drei 8er Holzschrauben an, wobei ich ebenfalls wieder Silikon zwischen Wand und Winkel dazu gab. Am Winkel sind vier Gewinde M 6 eingeschnitten, an denen der Ausleger - je nach Höhenstellung des Fräskopfes - angeschraubt wird.

Der Ausleger besteht aus zwei Flacheisen 20×5 mm. Mit zwei Langlöchern und Innensechskantschrauben M 6 wird die erforderliche Länge eingestellt. Dazu benutze ich den Kugelkopf-Schraubendreher, die Schrauben brauchen nicht sehr fest angezogen sein.

Dann folgten wieder die Steifigkeitsmessungen. Sehr erfreut konnte ich feststellen, dass sich die Messuhr an der Spindel nur noch ganz leicht bewegte (bei 100 N etwa im Bereich von 2-3 Tausendstel Millimeter).

Dann folgte ein Versuch mit dem 16er Schruppfräser bei Stahl "ins Volle". Zuerst bei einer Zustellung von 2 mm, was ohne Probleme möglich war. Auch bei 3 mm war kein Rattern zu vernehmen. Dann 5 mm (Bild links). Auch das war noch ohne unangenehme Geräuschentwicklung möglich. Der Versuch mit dem Ausleger war also ein voller Erfolg. Noch dazu entstanden mir dabei keine Materialkosten, da alles aus meinem Schrottlager stammt.

Der Vollständigkeit halber sei noch erwähnt, dass zur Erhöhung der Steifigkeit zusätzlich eine Strebe zur Decke (z-Richtung) denkbar wäre. Allerdings wirken beim Fräsen die Kräfte hauptsächlich in x- und y-Richtung. Eine Abstützung zur Decke ist also nicht nötig. Wichtig ist nur, dass der Werktisch stabil genug ist und fest an der Wand verschraubt ist.

Vielleicht erscheint das Lösen und Festziehen von vier Schrauben so manchem vielleicht etwas umständlich. Bei leichten Fräsarbeiten werde ich auch nicht den Ausleger brauchen. Falls es aber nötig ist, kann ich eben auf eine wesentlich erhöhte Steifigkeit der Maschine verfügen.

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